Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna

Rozważmy układ równań postaci

(1)

\( x^\prime(t)=A\cdot x(t), \)

gdzie

\( A=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1}&\cdots &a_{nn} \end{bmatrix},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc a_{ij}\in \mathbb{R},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{bmatrix}. \)

Z kursu algebry liniowej wiemy, że macierz \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) jest diagonalizowalna jeżeli dla każdej watrości własnej wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej tej wartości jest równy jej krotności.

Niech \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) będzie wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) o krotności \( \hskip 0.3pc k>1\hskip 0.3pc \) i wymiar podprzestrzeni własnej

\( V_{\lambda}=\{x:\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (A-\lambda I)\cdot x=0\} \)

jest równy \( \hskip 0.4pc k \).

Jeżeli układ wektorów \( \hskip 0.3pc \{v_1,\ldots ,\hskip 0.3pc v_k\}\hskip 0.3pc \) jest bazę przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_\lambda\hskip 0.3pc \) to następujące funkcje

\( x_1(t)=v_1e^{\lambda t},\ldots, \hskip 0.3pc x_k(t)=v_ke^{\lambda t} \)

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu \( \hskip 0.3pc (1) \).

Uwaga 1:

Przyjmujemy następujące oznaczemia dotyczące operacji na macierzach : zapis \( \hskip 0.3pc a\cdot w_i+b\cdot w_j\hskip 0.3pc \) oznacza, że mnożymy wiersz \( \hskip 0.3pc i \)-ty przez \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) i wiersz \( \hskip 0.3pc j \)-ty przez \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) i wynik zapisujemy w wierszu \( \hskip 0.3pc j\hskip 0.3pc \)-tym. Analogicznie w przypadku kolumn zapis \( \hskip 0.3pc a\cdot k_i+b\cdot k_j\hskip 0.3pc \) oznacza, że mnożymy kolumnę \( \hskip 0.3pc i \)-tą przez \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) i kolumnę \( \hskip 0.3pc j \)-tą przez \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) i wynik zapisujemy w kolumnie \( \hskip 0.3pc j \)-tej.

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu \( \hskip 0.3pc (1),\hskip 0.3pc \) gdy

\( A=\begin{bmatrix}1&-2&2\\ -2&1&2\\2&2&1\end{bmatrix}. \)

Wyznaczamy wartości własne macierzy \( \hskip 0.3pc A \):

\( \begin{aligned}&\vert A-\lambda I\vert =\begin{vmatrix} 1-\lambda &-2&2\\ -2&1-\lambda& 2\\2&2&1-\lambda \end{vmatrix}\stackrel{w_1-w_2}{=}\begin{vmatrix}3-\lambda &-3+\lambda &0\\ -2&1-\lambda&2\\ 2&2&1-\lambda \end{vmatrix}\stackrel{k_1+k_2}{=}\\ &\begin{vmatrix}3-\lambda &0 &0\\ -2&-1-\lambda&2\\ 2&4&1-\lambda \end{vmatrix}=(3-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda &2\\ 4&1-\lambda \end{vmatrix}=-(\lambda-3)^2(\lambda+3)=0,\end{aligned} \)

\( \hskip 0.3pc \lambda_1=-3\hskip 0.5pc \) jest wartością własną o krotności jeden i \( \hskip 0.5pc \lambda_2=3 \) jest wartością własną o krotności dwa.
Wyznaczymy teraz kolejno podprzestrzenie własne \( \hskip 0.3pc V_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc V_2 \) odpowiadające wartościom własnym \( \hskip 0.3pc \lambda_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2. \)
Jeśli \( \lambda_1=-3. \)
Wtedy

\( V_1=\{x:\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (A+3I)\cdot x=0,\}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc {\rm gdzie}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}. \)

Rozwiązujemy układ równań

\( (A+3I)\cdot x=0\hskip 0.3pc : \)

\( \begin{aligned}&\begin{bmatrix}4&-2&2\\-2&4&2\\2&2&4\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc \begin{cases}4x_1-2x_2+2x_3=0&\\-2x_1+4x_2+2x_3=0&\\2x_1+2x_2+4x_3=0&\end{cases}\hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc \\& \begin{cases}2x_1-x_2+x_3=0&\\-x_1+2x_2+x_3=0&\\x_1+x_2+2x_3=0&\end{cases}\hskip 0.3pc \stackrel{w_3+w_2}{\Longleftrightarrow} \hskip 0.3pc \begin{cases}2x_1-x_2+x_3=0&\\ 3x_2+3x_3=0&\end{cases}\hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc \begin{cases}x_1=-x_3&\\ x_2=-x_3.&\end{cases}\end{aligned} \)

Zatem

\( V_1=\left\lbrace \begin{bmatrix}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc -x_3\\-x_3\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}x_3,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x_3\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \right\rbrace\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc i \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc v_1=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} . \)

Funkcja

\( x_1(t)=v_1e^{-3t}=\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} e^{-3t} \)

jest rozwiązaniem układu \( \hskip 0.3pc (1)\hskip 0.3pc \) odpowiadającym wartości własnej \( \lambda_1. \)
Jeśli \( \lambda_2=3. \)
Wtedy

\( V_2=\{x:\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (A-3I)\cdot x=0\}. \)

Rozwiązujemy układ równań

\( (A-3I)\cdot x=0\hskip 0.3pc : \)

\( \begin{bmatrix}-2&-2&2\\-2&-2&2\\2&2&-2\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\Longleftrightarrow \begin{cases}-2x_1-2x_2+2x_3=0& \\-2x_1-2x_2+2x_3=0&\\2x_1+2x_2-2x_3=0&\end{cases} \Longleftrightarrow x_1=-x_2+x_3. \)

Zatem

\( V_2=\left\lbrace \begin{bmatrix}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc -x_2+x_3\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\\ 0\end{bmatrix}x_2 +\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}x_3,\hskip 0.8pc x_2 \in \mathbb{R}\hskip 0.5pc \right\rbrace. \)

Przestrzeń \( \hskip 0.3pc V_2\hskip 0.3pc \) jest generowana przez wektory

\( v_2=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\hskip 0.6pc {\rm i} \hskip 0.6pc v_3=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \)

które są liniowo niezależne. Więc wymiar przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_2\hskip 0.3pc \) jest równy krotności wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda_2 \).

Stąd wynika, że następujące funkcje

\( x_2(t)=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}e^{3t},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x_3(t)=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}e^{3t} \)

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu \( \hskip 0.3pc (1)\hskip 0.3pc \) odpowiadającymi wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda_2\hskip 0.3pc \) .

Fundamentalnym zbiorem rozwiązań dla układu \( \hskip 0.3pc (1)\hskip 0.3pc \) są funkcje \( \hskip 0.3pc \{x_1(t),\hskip 0.3pc x_2(t),\hskip 0.3pc x_3(t)\}. \)
Rozwiązanie ogólne układu \( \hskip 0.3pc (1)\hskip 0.3pc \) ma postać

\( x(t)=c_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} e^{-3t}+c_2\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 0\end{bmatrix} e^{3t}+c_3\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}e^{3t} \)

gdzie \( c_1,\hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc c_3\hskip 0.3pc \) są to dowolne liczby rzeczywiste.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna

Uwaga 1:

Przykład 1: